Определение инерционных характеристик

Постановка задачи:

Определить значение главных центральных моментов инерции и положение главных центральных осей сечения, составленного из стандартных прокатных профилей. Расчеты осуществить в двух видах:

• от руки
• с использованием программы SolidWorks 2008;

сравнить полученные результаты.

Полученное задание:

Реализовано в SolidWorks 2008:

Сравнительная характеристика расчетов.

Характеристика	Расчеты	SolidWorks 2008	Разница, %
Пластина
Ix,	4,58	4,58	0
Iy,	1692,71	1692,71	0
Площадь сечения	32,50	32,50	0
Двутавр
Ix,	19062	18995,79	0,35
Iy,	667	626,84	6,41
Площадь сечения	72,60	72,46	0,19
Равнобокий уголок
Ix,	48,16	48,16	0
Ixу,	28,20	28,19	0,04
Площадь сечения	10,67	10,67	0
Деталь
Xc, см	17,25	17,25	0
Yc, см	21,30	21,30	0
Центральные осевые и центробежные моменты инерции.
Ix,	53783,74	53711,18	0,14
Iy,	10441,71	10519,97	0,74
Ixу,	-12163,33	-12157,29	0,05
Главные центральные моменты инерции.
Ix,	56963	56898,03	0,11
Iy,	7261,74	7333,12	0,97

Разница была вычислена относительно данных из SolidWorks 2008 по формуле:
.
Инерционные характеристики при различных уклонах двутавра.

Характеристика	Уклон	Уклон	Уклон
Двутавр
Ix,	19088.09	18995,79	18895.55
Iy,	682.55	626,84	570.03
Площадь сечения	72.61	72,46	72.32
Деталь
Центральные осевые и центробежные моменты инерции.
Ix,	53803.48	53711,18	53610.94
Iy,	10575.68	10519,97	10463.16
Ixу,	-12157.29	-12157,29	-12157.29
Главные центральные моменты инерции.
Ix,	56987.97	56898,03	56800.58
Iy,	7391.18	7333,12	7273.52

Инерционные характеристики с учетом скруглений и без.

Характеристика	Без скруглений	Со скруглениями	Разница, %
Двутавр
Ix,	18651.55	18995,79	1,81
Iy,	638.50	626,84	1,86
Площадь сечения	71.34	72,46	1,55
Равнобокий уголок
Ix,	48.41	48,16	0,52
Ixу,	28.54	28,19	1,24
Площадь сечения	10.56	10,67	1,03
Деталь
Центральные осевые и центробежные моменты инерции.
Ix,	53284.50	53711,18	0,79
Iy,	10470.76	10519,97	0,47
Ixу,	- 12085.23	-12157,29	0,59
Главные центральные моменты инерции.
Ix,	56460.28	56898,03	0,77
Iy,	7294.97	7333,12	0,52

Разница была вычислена относительно вычислений со скруглениями по формуле:

.

Описание решения.

Определяем центр тяжести системы (стандартные профили находятся по таблицам сортамента). Для этого вводим вспомогательные оси, расположенные по нижнему краю и левому срезу сечения. Для определения используем формулу:
,
где - координата центра тяжести системы относительно вспомогательных осей, -координата центра тяжести отдельных профилей, а - их площадь поперечного сечения.
Аналогично находится и координата .
Через точку проводим центральные оси, параллельные вспомогательным. Затем определяем центральные осевые и центробежный моменты инерции, для этого используем теорему Гюйгенса-Штейнера:
,
где - момент инерции стандартных профилей, - расстояние от центра тяжести системы до центров тяжести профилей. Iy находится по тому же принципу. Для Ixy:
.
Для Ixy формула выглядит так:
.
Далее вычисляем главные центральные моменты инерции. Для этого применяем формулы:


В завершении проводится проверка, состоящая из равенства:
.

В SolidWorks 2008 для получения необходимых данных необходимо зайти в Menu à Tools à Section Properties.

Вместо заключения: При выполнении данного задания была проделана работа по вычислению инерционных характеристик детали, состоящей из стандартных прокатных профилей “от руки” с целью дальнейшего сравнения полученных результатов в программе SolidWorks 2008. Также были занесены в таблицу данные при различных конфигурациях детали (со скруглениями, без скруглений, при различных углах уклона двутавра). В ходе работы были обнаружены некоторые расхождения с ручными расчетами: в SolidWorks центробежный момент инерции имел отрицательный знак; главные моменты инерции были посчитаны наоборот, т.е. Ix от руки было равно Iy в SolidWorks и наоборот. Впрочем, эти неясности были рассмотрены и решены.