суббота, 14 мая 2011 г.

Исследование частично гомогенизированных сэндвич-структур (часть 1)

Во время пребывания в Европе, конечно, больше впечатлений оставили экскурсии, но все же главной целью моей стажировки было выполнение задания. Как я писала ранее, тема моих исследований была «Численное исследование частично гомогенизированных сэндвич-структур при статической и динамической нагрузках».  Вот, наконец-то, я и начала писать статью о том, как я выполняла полученное задание. Статья получается немаленькая, поэтому буду выкладывать ее по частям.

Введение
Во время исследования больших сэндвич-моделей возникает необходимость уменьшения количества уравнений в расчете. Однако, в области действия нагрузки (удара) нужно полностью моделировать композитный материал, но по мере удаления от места действия нагрузки материал можно заменить на эквивалентный гомогенизированный. Это позволит значительно уменьшить число степеней свободы, а соответственно количество уравнений в расчете. Таким образом, применение эквивалентного гомогенизированного материала позволяет сократить время расчета и уменьшить технические требования к компьютеру.


В предыдущих исследованиях было замечено, что при «прямом» соединении композитного материала и эквивалентного гомогенизированного материала в месте соединения возникают локальные эффекты, которые не соответствуют действительности. В связи с этим возникает задача определения такого метода совмещения двух частей модели, в котором бы отсутствовали (или были незначительными) данные эффекты.
Чтобы лучше понять возникающие локальные эффекты и найти метод совмещения двух частей модели, сначала нужно исследовать двухмерную, а потом трехмерную модель. Также необходимо провести статический и динамический расчет.
1 Описание рассчитываемых моделей
1.1 Исходная модель
Геометрия исходной модели представлена ниже. 



Свойства материала исходной модели: модуль упругости равен 7·1010, коэффициент Пуассона – 0, плотность материала – 2,7·103.





1.2 Эквивалентная модель
Эквивалентная модель состоит из пластины и двух балок. Свойства материала балок: модуль упругости равен 7·1010, коэффициент Пуассона – 0, плотность материала – 2,7·103. Свойства материала пластины:  Ex = 10.5·106, Ey = 7.29·109, Ez = 3.53·109, G12 = 0.285·109, G23 = 13.81·108, G13 = 1.28·109, коэффициент Пуассона – 0, плотность материала – 1.36·102.

1.3 Модель № 1
Модель №1 является совмещением эквивалентной и исходной модели. Геометрия модели №1 показана на рисунке.

1.4 Модель № 2
Модель №2 является совмещением эквивалентной и исходной модели. Геометрия модели №2 показана на рисунке.

 2 Расчет материала для эквивалентной модели
2.1  Модуль упругости Ех
Модуль упругости Ех определяется по формуле:






где Еисх – модуль упругости исходной модели;
       с1 – жесткость исходной модели;
       с2 – жесткость модели, для которой находится модуль упругости.
Жесткость модели находится по формуле




где Δ – максимальные суммарные перемещения модели при действии на нее силы F;
     F – сила, действующая на модель. Рассмотрим исходную модель.
Верхняя и нижняя балки исключены из расчета, чтобы их жесткость не влияла на нахождение Ех. Параметры исходного материала: Е = 7·1010 Па, υ = 0.
Для определения жесткости модели на нее было приложены силы по 10 Н. Две точки справа (нижняя и верхняя) жестко закреплены. У остальных запрещены все перемещения, кроме перемещения по оси Х.
Картина суммарных перемещений показана на рисунке. Максимальные перемещения равны – 2,182·10-2.
Жесткость исходной модели находится по формуле 1.2:




Рассмотрим эквивалентную модель, тоже без балок. Параметры материала:   Е = 7·1010 Па, υ = 0.
Для определения жесткости модели на нее было приложено давление величиной 590 Н. Две точки справа (нижняя и верхняя) жестко закреплены. У остальных запрещены все перемещения, кроме перемещения по оси Х.  
Картина суммарных перемещений показана на рисунке. Максимальные перемещения равны – 9,89·10-5.Жесткость эквивалентной модели найдем, используя формулу 1.2:



Модуль упругости Ех найдем по формуле 1.1:




Проверка результатов. Подставляем найденное Ех в эквивалентную модель. Картина суммарных  перемещений представлена на рисунке. Максимальные перемещения равны 2,184·10-2.

Сравнение результатов.

 

Исходная модель

Эквивалентная модель

Модуль упругости Е

7·1010

10,5·106

Макс. перемещения

2,182·10-2

2,184·10-2


Таким же образом был найден модуль упругости Еу.


2.2 Модуль упругости Еz
Модуль упругости Еz найдем из следующей формулы:

2.3  Модуль сдвига G13
Модуль сдвига G13 находится по формуле:



где F – действующая сила;
А – площадь, на которой действует сила;
Δх – сдвиг;
у – начальная длина.
Для определения Δх на модель была приложена распределенная нагрузка величиной 181 Н. Противоположный край жестко закреплен.
Картина суммарных перемещений представлена на рисунке. Максимальные суммарные перемещения равны 2,161·10-7.
Найдем G23.



Таким же образом были найдены модуль сдвига G12 и G23.

1.7 Плотность эквивалентного материала.
Плотность материала найдем из следующей формулы:

где рисх – плотность исходного материала.


1.8 Сравнение двух моделей.
Исходная модель. Параметры материала: Е = 7·1010Па, υ = 0.
Картина суммарных перемещений показана на рисунке. Максимальные перемещения равны – 8,412·10-4.
Рассмотрим эквивалентную модель.
Параметры материала:  
Ех = 10,5·106,    G12 = 0,285·109 ,  
Еу = 7,29·109,    G13 = 1,28·109 ,
Еz = 3.53·109,    G23 = 13,81·108 ,
υ = 0.
Картина суммарных перемещений показана на рисунке. Максимальные перемещения равны – 8,39·10-4.
Сравнение результатов.

Модель

Исходная

Эквивалентная

Макс. перемещения

8,412·10-4

8,39·10-4

Разница результатов составляет около 0,25%, что позволяет применять найденные параметры для эквивалентного гомогенизированного материала.

5 комментариев:

  1. А разве бывают материалы с коэффициентом Пуассона 0 ? Насколько помнится он от 0.1 до 0.5 ... Или я чего то не дослушал...

    ОтветитьУдалить
  2. И ещё если можно, поясни что такое сэндвич-модель ?

    ОтветитьУдалить
  3. 1. В данном случае модель "идеализированная". Это сделано для того, чтобы не усложнять расчет дополнительными коэффициентами (также, как иногда принимается равным нулю коэф. трения);
    2. Это название придумали сами немцы :) А вообще, это композитный материал с формой моей исходной модели, у которого один материал размещается между другим (как сэндвич :D).

    ОтветитьУдалить
  4. Понятие сендвич является более чем стандартным в терминологии композиционных материалов. Кто конкретно его придумал сложно сказать.

    Сендвич - это многослойная конструкция. Обычно количество слоев равно трем. Обычно "нижний" и "верхний" слой - одинаковы по свойствам и представляют из себя достаточно жесткие пластины. Середина выполнена из более легкого, менее жесткого материала.
    В случае Натальи это гофрированная "гармошка".
    Верхний и нижний слой служат для восприятия нагрузки, срединный для перераспределения ее по большей области

    ОтветитьУдалить
  5. Этот комментарий был удален автором.

    ОтветитьУдалить