Исследование частично гомогенизированных сэндвич-структур (часть 1)

Во время пребывания в Европе, конечно, больше впечатлений оставили экскурсии, но все же главной целью моей стажировки было выполнение задания. Как я писала ранее, тема моих исследований была «Численное исследование частично гомогенизированных сэндвич-структур при статической и динамической нагрузках».  Вот, наконец-то, я и начала писать статью о том, как я выполняла полученное задание. Статья получается немаленькая, поэтому буду выкладывать ее по частям.

Введение
Во время исследования больших сэндвич-моделей возникает необходимость уменьшения количества уравнений в расчете. Однако, в области действия нагрузки (удара) нужно полностью моделировать композитный материал, но по мере удаления от места действия нагрузки материал можно заменить на эквивалентный гомогенизированный. Это позволит значительно уменьшить число степеней свободы, а соответственно количество уравнений в расчете. Таким образом, применение эквивалентного гомогенизированного материала позволяет сократить время расчета и уменьшить технические требования к компьютеру.

В предыдущих исследованиях было замечено, что при «прямом» соединении композитного материала и эквивалентного гомогенизированного материала в месте соединения возникают локальные эффекты, которые не соответствуют действительности. В связи с этим возникает задача определения такого метода совмещения двух частей модели, в котором бы отсутствовали (или были незначительными) данные эффекты.
Чтобы лучше понять возникающие локальные эффекты и найти метод совмещения двух частей модели, сначала нужно исследовать двухмерную, а потом трехмерную модель. Также необходимо провести статический и динамический расчет.
1 Описание рассчитываемых моделей
1.1 Исходная модель
Геометрия исходной модели представлена ниже. 

Свойства материала исходной модели: модуль упругости равен 7·10¹⁰, коэффициент Пуассона – 0, плотность материала – 2,7·10³.

1.2 Эквивалентная модель
Эквивалентная модель состоит из пластины и двух балок. Свойства материала балок: модуль упругости равен 7·10¹⁰, коэффициент Пуассона – 0, плотность материала – 2,7·10³. Свойства материала пластины:  Ex = 10.5·10⁶, Ey = 7.29·10⁹, Ez = 3.53·10⁹, G12 = 0.285·10⁹, G23 = 13.81·10⁸, G13 = 1.28·10⁹, коэффициент Пуассона – 0, плотность материала – 1.36·10².

1.3 Модель № 1
Модель №1 является совмещением эквивалентной и исходной модели. Геометрия модели №1 показана на рисунке.

1.4 Модель № 2
Модель №2 является совмещением эквивалентной и исходной модели. Геометрия модели №2 показана на рисунке.

 2 Расчет материала для эквивалентной модели
2.1  Модуль упругости Ех
Модуль упругости Ех определяется по формуле:

где Еисх – модуль упругости исходной модели;
       с1 – жесткость исходной модели;
       с2 – жесткость модели, для которой находится модуль упругости.

Жесткость модели находится по формуле

где Δ – максимальные суммарные перемещения модели при действии на нее силы F;

     F – сила, действующая на модель. Рассмотрим исходную модель.
Верхняя и нижняя балки исключены из расчета, чтобы их жесткость не влияла на нахождение Ех. Параметры исходного материала: Е = 7·10¹⁰ Па, υ = 0.
Для определения жесткости модели на нее было приложены силы по 10 Н. Две точки справа (нижняя и верхняя) жестко закреплены. У остальных запрещены все перемещения, кроме перемещения по оси Х.
Картина суммарных перемещений показана на рисунке. Максимальные перемещения равны – 2,182·10^-2.
Жесткость исходной модели находится по формуле 1.2:

Рассмотрим эквивалентную модель, тоже без балок. Параметры материала:   Е = 7·10¹⁰ Па, υ = 0.
Для определения жесткости модели на нее было приложено давление величиной 590 Н. Две точки справа (нижняя и верхняя) жестко закреплены. У остальных запрещены все перемещения, кроме перемещения по оси Х.  
Картина суммарных перемещений показана на рисунке. Максимальные перемещения равны – 9,89·10^-5.Жесткость эквивалентной модели найдем, используя формулу 1.2:

Модуль упругости Ех найдем по формуле 1.1:

Проверка результатов. Подставляем найденное Ех в эквивалентную модель. Картина суммарных  перемещений представлена на рисунке. Максимальные перемещения равны 2,184·10^-2.

Сравнение результатов.

	Исходная модель	Эквивалентная модель
Модуль упругости Е	7·1010	10,5·106
Макс. перемещения	2,182·10-2	2,184·10-2

Таким же образом был найден модуль упругости Еу.

2.2 Модуль упругости Еz
Модуль упругости Еz найдем из следующей формулы:

2.3  Модуль сдвига G13
Модуль сдвига G13 находится по формуле:

где F – действующая сила;
А – площадь, на которой действует сила;
Δх – сдвиг;
у – начальная длина.
Для определения Δх на модель была приложена распределенная нагрузка величиной 181 Н. Противоположный край жестко закреплен.
Картина суммарных перемещений представлена на рисунке. Максимальные суммарные перемещения равны 2,161·10^-7.
Найдем G23.

Таким же образом были найдены модуль сдвига G12 и G23.

1.7 Плотность эквивалентного материала.
Плотность материала найдем из следующей формулы:

где рисх – плотность исходного материала.

1.8 Сравнение двух моделей.
Исходная модель. Параметры материала: Е = 7·10¹⁰Па, υ = 0.
Картина суммарных перемещений показана на рисунке. Максимальные перемещения равны – 8,412·10^-4.
Рассмотрим эквивалентную модель.
Параметры материала:  
Ех = 10,5·10⁶,    G12 = 0,285·10⁹ ,  
Еу = 7,29·10⁹,    G13 = 1,28·10⁹ ,
Еz = 3.53·10⁹,    G23 = 13,81·10⁸ ,
υ = 0.
Картина суммарных перемещений показана на рисунке. Максимальные перемещения равны – 8,39·10^-4.
Сравнение результатов.

Модель	Исходная	Эквивалентная
Макс. перемещения	8,412·10-4	8,39·10-4

Разница результатов составляет около 0,25%, что позволяет применять найденные параметры для эквивалентного гомогенизированного материала.